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Python基于歐拉角繪制一個立方體_python

作者：微小冷 ? 更新時間： 2023-07-02 編程語言

先畫個立方體

工欲善其事、必先利其器，在開始學習歐拉角模擬之前，可先繪制一個立方體。

在matplotlib中，這個任務可通過plt.voxels實現，下面先繪制一個最質樸的立方體

代碼為

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
filled = np.ones((1,1,1))
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)
plt.show()

其中，x,y,z表示頂點，filled表示被填充的區域。由于其頂點數量為2×2×2，故只有一個立方體，從而filled是一個1×1×1的張量。

有了立方體之后，就可以進行歐拉角仿真了。

歐拉角和旋轉矩陣

為了盡快進入演示部分，故對原理的介紹從略，僅從二維平面上的旋轉矩陣出發，做一個簡單的推導，而三維旋轉矩陣，至少在形式上與二維是雷同的。

假設坐標系中有一個向量(x,y)，其模長為r=√x2+y2，角度為θ0=arctan(y/x).若將其圍繞坐標原點逆時針旋轉θ，則其坐標變為

由于x=rcosθ0, y=rsinθ0，則上式可以寫為

寫成矩陣形式即為

也就是說，在平面直角坐標系上，向量繞原點順時針旋轉θ，相當于左乘一個旋轉矩陣。

推廣到三維，為了限制xy坐標平面上的旋轉，要將其旋轉中心從原點擴展為繞著z軸旋轉，從而三維旋轉矩陣可推廣為

同理可得到繞三個軸轉動的旋轉矩陣，為了書寫方便，記Sθ=sinθ,Cθ=cosθ，可列出下表。

初步演示

將旋轉矩陣寫成函數是十分方便的，下面用lambda表達式來實現

import numpy as np
# 將角度轉弧度后再求余弦
cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))
sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))

# 即 Rx(th) => Matrix
Rx = lambda th : np.array([
    [1, 0,       0],
    [0, cos(th), -sin(th)],
    [0, sin(th), cos(th)]])
Ry = lambda th : np.array([
    [cos(th),  0, sin(th)],
    [0      ,  1, 0],
    [-sin(th), 0, cos(th)]
])
Rz = lambda th : np.array([
    [cos(th) , sin(th), 0],
    [-sin(th), cos(th), 0],
    [0       , 0,       1]])

有了旋轉矩陣，就可以旋轉，接下來讓正方體沿著三個軸分別旋轉30°，其效果如下

由于ax.voxels在繪圖時，要求輸入的是擁有三個維度的數組，而旋轉矩陣是3 × 3 3\times33×3矩陣，相當于是二維數組，彼此之間可能很難計算，所以實際計算時，需要對數組維度進行調整

import matplotlib.pyplot as plt
# 用于批量調節x,y,z的數組維度
Reshape = lambda x,y,z : [x.reshape(2,2,2), y.reshape(2,2,2), z.reshape(2,2,2)]


filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
# 將x,y,z展開，以便于矩陣計算
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 此為未旋轉的正方體
ax = fig.add_subplot(1,4,1, projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)

# 繞x軸旋轉30°
X, Y, Z = Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 繞y軸旋轉30°
X, Y, Z = Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 繞z軸旋轉30°
X, Y, Z = Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,4, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

不同轉動順序的影響

眾所周知，矩陣計算是不能交換的，反映到實際生活中，就是不同的旋轉次序，可能會導致完全不同的結果，接下來沿著不同的旋轉次序，來對正方體進行旋轉，效果如下

需要注意的是，由于矩陣左乘向量表示對向量進行旋轉，所以距離向量最近的矩陣表示最先進行的操作，即RzRyRxr ? ?表示先轉Rx ,Ry次之，Rz最后。

代碼如下

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 旋轉順序 x, y, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Ry(30) @ Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,1, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋轉順序 z, y, x
X, Y, Z = Rx(30) @ Ry(30) @ Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋轉順序 y, x, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

總之，雖然分不清誰是誰，但最起碼可以看清楚，不同的旋轉順序的確導致了不同的旋轉結果。

旋轉演示

為了更加清楚地表示這一過程，可以將正方體的旋轉過程繪制下來，先考慮單軸旋轉，假設每次旋轉3°，繞X軸旋轉30次，則可得到

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
import imageio

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

def saveGif(X,Y,Z, gifs):
    plt.cla()
    ax = plt.subplot(projection='3d')
    ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)
    ax.set_xlim(-0.5,1.5)
    ax.set_ylim(-0.5,1.5)
    ax.set_zlim(-0.5,1.5)
    ax.set_title(f"theta={th}")
    plt.tight_layout()
    plt.savefig(f"tmp.jpg")
    gifs.append(imageio.imread(f"tmp.jpg"))

gifImgs = []
th = 0

for i in range(30):
    X,Y,Z = Rx(th)@xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

通過這個方法，可以將不同順序的旋轉矩陣可視化表示，

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

gifImgs = []
th = 0
for _ in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(0) @ Ry(th) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(th) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(th) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

最后得到三種不同旋轉順序的區別

x-y-z

z-y-x

y-x-z

原文鏈接：https://tinycool.blog.csdn.net/article/details/127669240

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