前言

Logistic回歸涉及到高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論，優(yōu)化問題。本文盡量以最簡單易懂的敘述方式，以少講公式原理，多講形象化案例為原則，給讀者講懂Logistic回歸。如對數(shù)學(xué)公式過敏，引發(fā)不適，后果自負(fù)。

Logistic回歸原理與推導(dǎo)

Logistic回歸中雖然有回歸的字樣，但該算法是一個分類算法，如圖所示，有兩類數(shù)據(jù)（紅點和綠點）分布如下，如果需要對兩類數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們可以通過一條直線進(jìn)行劃分（w0 * x0 + w1 * x1+w2 * x2）。當(dāng)新的樣本（x1,x2）需要預(yù)測時，帶入直線函數(shù)中，函數(shù)值大于0，則為綠色樣本（正樣本），否則為紅樣本（負(fù)樣本）。

推廣到高維空間中，我們需要得到一個超平面（在二維是直線，在三維是平面，在n維是n-1的超平面）切分我們的樣本數(shù)據(jù)，實際上也就是求該超平面的W參數(shù)，這很類似于回歸，所以取名為Logistic回歸。

sigmoid函數(shù)

當(dāng)然，我們不直接使用z函數(shù)，我們需要把z值轉(zhuǎn)換到區(qū)間[0-1]之間，轉(zhuǎn)換的z值就是判斷新樣本屬于正樣本的概率大小。 我們使用sigmoid函數(shù)完成這個轉(zhuǎn)換過程，公式如下。通過觀察sigmoid函數(shù)圖，如圖所示，當(dāng)z值大于0時，σ值大于0.5，當(dāng)z值小于0時，σ值小于于0.5。利用sigmoid函數(shù)，使得Logistic回歸本質(zhì)上是一個基于條件概率的判別模型。

目標(biāo)函數(shù)

其實，我們現(xiàn)在就是求W，如何求W呢，我們先看下圖，我們都能看出第二個圖的直線切分的最好，換句話說，能讓這些樣本點離直線越遠(yuǎn)越好，這樣對于新樣本的到來，也具有很好的劃分，那如何用公式表示并計算這個目標(biāo)函數(shù)呢？

這時就需要這個目標(biāo)函數(shù)的值最大，以此求出θ。

梯度上升法

在介紹梯度上升法之前，我們看一個中學(xué)知識：求下面函數(shù)在x等于多少時，取最大值。

解：求f(x)的導(dǎo)數(shù)：2x，令其為0，求得x=0時，取最大值為0。但在函數(shù)復(fù)雜時，求出導(dǎo)數(shù)也很難計算函數(shù)的極值，這時就需要使用梯度上升法，通過迭代，一步步逼近極值，公式如下，我們順著導(dǎo)數(shù)的方向（梯度）一步步逼近。

利用梯度算法計算該函數(shù)的x值：

def f(x_old):
         return -2*x_old
def cal():
     x_old  = 0
     x_new = -6
     eps = 0.01
     presision = 0.00001
     while abs(x_new-x_old)>presision:
        x_old=x_new
        x_new=x_old+eps*f(x_old)
     return x_new
-0.0004892181072978443

Logistic回歸實踐

數(shù)據(jù)情況

讀入數(shù)據(jù)，并繪圖顯示：

def loadDataSet():
    dataMat = [];labelMat = []
    fr = open('數(shù)據(jù)/Logistic/TestSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat

訓(xùn)練算法

利用梯度迭代公式，計算W：

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, labelMatIn):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)
    labelMat = np.mat(labelMatIn).transpose()
    m,n = np.shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = np.ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)
        error = labelMat - h
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
    return weights

通過計算的weights繪圖，查看分類結(jié)果

算法優(yōu)缺點

• 優(yōu)點：易于理解和計算
• 缺點：精度不高