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1.示例
樹的一些屬性：
- 層次性：樹是按層級構建的，越籠統就越靠近頂部，越具體則越靠近底部。
- 一個節點的所有子節點都與另一個節點的所有子節點無關。
- 葉子節點都是獨一無二的。
- 嵌套
2.術語及定義
- 節點：樹的基礎部分。節點的名字 → 鍵，附加信息 → 有效載荷。
- 邊：兩個節點通過一條邊相連，表示它們之間存在關系。除了根節點，其他每個結點都僅有一條入邊，出邊則可能有多條。
- 根節點：樹中唯一沒有入邊的結點。
- 路徑：由邊連接的有序節點列表。
- 子節點：一個節點通過出邊與子節點相連。
- 父節點：一個節點是其所有子節點的父節點。
- 兄弟節點：具有同一父節點的結點 → 互稱兄弟節點。
- 子樹：一個父節點及其所有后代的節點和邊構成一棵子樹。
- 葉子結點：葉子節點沒有子節點。
- 層數：節點n的層數是從根節點到n的唯一路徑長度。根節點的層數為0。
- 高度：樹的高度是其中節點層數的最大值。
1.定義一：樹由節點及連接節點的邊構成。
樹的屬性：
- 有一個根節點除根節點外，其他每個節點都與其唯一的父節點相連。
- 從根節點到其他每個節點有且僅有一條路徑。
- 如果每個節點最多有兩個子節點 → 二叉樹。
2.定義二：一棵樹要么為空，要么由一個根節點和零棵或多棵子樹構成，子樹本身也是一棵樹。
每棵子樹的根節點通過一條邊連到父樹的根節點。
3.實現
3.1 列表之列表
樹的根節點是myTree[0]，左子樹是myTree[1]，右子樹是myTree[2]。
# 列表函數
def BinaryTree(r):
return [r,[],[]] # 根節點r，和兩個作為子節點的空列表
# 插入左子樹
def insertLeft(root,newBranch):
t = root.pop(1)
if len(t) > 1:
root.insert(1,[newBranch,t,[]])
else:
root.insert(1,[newBranch,[],[]])
return root
## 插入右子樹
def insertRight(root , newBranch):
t = root.pop(2)
if len(t) > 1:
root.insert(2,[newBranch,[],t])
else:
root.insert(2,[newBranch,[],[]])
return root
### 樹的訪問函數
def getRootVal(root):
return root[0]
def setRootVal(root,newVal):
root[0] = newVal
def getLeftChild(root):
return root[1]
def getRightChild(root):
return root[2]
r = BinaryTree(3)
insertLeft(r,4)
print(r)3.2節點與引用
定義一個類，其中有根節點和左右子樹的屬性。
class BinaryTree:
def __init__(self,rootObj):
self.key = rootObj
self.leftChild = None
self.rightChild = None
## 插入左子節點
def insertLeft(self,newNode):
if self.leftChild == None:
self.leftChild = BinaryTree(newNode)
else:
t = BinaryTree(newNode)
t.left = self.leftChild
self.leftChild = t
## 插入右子節點
def insertRight(self,newNode):
if self.rightChild == None:
self.rightChild = BinaryTree(newNode)
else:
t = BinaryTree(newNode)
t.right = self.rightChild
self.rightChild = t
## 訪問函數
def getRightChild(self):
return self.rightChild
def getLeftChild(self):
return self.leftChild
def setRootVal(self,obj):
self.key = obj
def getRootVal(self):
return self.key4.二叉樹的應用
4.1解析樹
- 根據完全括號表達式構建解析樹
- 如何計算解析樹中的表達式
- 如何將解析樹還原成最初的數學表達式
解析樹構建器：
import operator
from pythonds.basic import Stack
from pythonds.trees import BinaryTree
def buildParseTree(fpexp):
fplist = fpexp.split()
pStack = Stack()
eTree = BinaryTree("")
pStack.push(eTree)
currentTree = eTree
for i in fplist:
if i == "(":
currentTree.insertLeft("")
pStack.push(currentTree)
currentTree = currentTree.getLeftChild()
elif i not in "+-*/)":
currentTree.setRootVal(eval(i))
parent = pStack.pop()
currentTree = parent
elif i in "+-*/":
currentTree.setRootVal(i)
currentTree.insertRight("")
currentTree = currentTree.getRightChild()
elif i == ")":
currentTree = pStack.pop()
else:
raise ValueError("Unkown Operator :" + i )
return eTree
## 計算二叉解析樹的遞歸函數
def evaluate(parseTree):
opers = {
"+":operator.add,"-":operator.sub,
"*":operator.mul,"/":operator.truediv
}
leftC = parseTree.getLeftChild()
rightC = parseTree.getRightChild()
if leftC and rightC:
fn = opers[parseTree.getRootVal()]
return fn(evaluate(leftC),evaluate(rightC))
else:
return parseTree.getRootVal()4.2樹的遍歷
- 前序遍歷【根左右】
- 中序遍歷【左根右】
- 后序遍歷【左右根】
前序遍歷算法實現為外部函數：
def preorder(tree):
if tree:
print(tree.getRootVal())
preorder(tree.getLeftChild())
preorder(tree.getRightChild)前序遍歷算法實現為BinaryTree類的方法
def preorder(self):
print(self.key)
if self.leftChild:
self.leftChild.preorder()
if self.rightChild:
self.rightChild.preorder()后序遍歷函數
def postorder(tree):
if tree != None:
postorder(tree.getLeftChild())
postorder(tree.getRightChild())
print(tree.getRootVal())中序遍歷函數
def inorder(tree):
if tree != None:
inorder(tree.getLeftChild())
print(tree.getRootVal())
inorder(tree.getRightChild())5.利用二叉堆實現優先級隊列
隊列一個重要的變體 → 優先級隊列。和隊列一樣，優先級隊列從頭部移除元素，不過元素的邏輯順序是由優先級決定的，優先級最高的元素在最前，最低的元素在最后。
實現優先級隊列的經典方法 → 二叉堆。入隊和出隊操作均可達到O(logn)
- 最小堆【最小的元素一直在隊首】
- 最大堆【最大的元素一直在隊首】 6.6.2 二叉堆的實現
結構屬性：
- 完全二叉樹：除了最底層，其他每一層的節點都是滿的。且在最底層，從左往右填充節點。
- 完全二叉樹可以用一個列表直接表示。
堆的有序性：對于堆中任意元素x及其父元素p，p都不大于x。
堆操作
代碼實現：
class EchaDui:
# 新建二叉堆
def __init__(self):
self.heapList = [0]
self.currentSize = 0
def percUp(self,i):
while i // 2 > 0:
if self.heapList[i] < self.heapList[i // 2]:
tmp = self.heapList[i // 2]
self.heapList[i // 2] = self.heapList[i]
self.heapList[i] = tmp
i = i // 2
# 新加元素
def insert(self,k):
self.heapList.append(k)
self.currentSize = self.currentSize + 1
self.percUp(self.currentSize)
def percDown(self,i):
while (i * 2) <= self.currentSize:
mc = self.minChild(i)
if self.heapList[i] > self.heapList[mc]:
tmp = self.heapList[i]
self.heapList[i] = self.heapList[mc]
self.heapList[mc] = tmp
i = mc
def minChild(self,i):
if i * 2 + 1 > self.currentSize:
return i * 2
else:
if self.heapList[i*2] < self.heapList[i*2 + 1]:
return i * 2
else:
return i * 2 + 1
## 從二叉堆中刪除最小的元素
def delMin(self):
retval = self.heapList[1]
self.heapList[1] = self.heapList[self.currentSize]
self.currentSize = self.currentSize - 1
self.heapList.pop()
self.percDown(1)
return retval
## 根據元素列表構建堆
def builgHeap(self,alist):
i = len(alist) // 2
self.currentSize = len(alist)
self.heapList = [0] + alist[:]
while (i > 0):
self.percDown(i)
i = i - 16.二叉搜索樹
6.1搜索樹的實現
二叉搜索樹依賴性質：小于父節點的鍵都在左子樹中，大于父節點的鍵則都在右子樹。
代碼實現：
class BinarySearchTree:
def __init__(self):
self.root = None
self.size = 0
def length(self):
return self.size
def __len__(self):
return self.size
def __iter__(self):
return self.root.__iter__()
# 插入新節點
def put(self,key,val):
if self.root:
self._put(key,val,self.root)
else:
self.root = TreeNode(key,val)
self.size = self.size + 1
def _put(self,key,val,currentNode):
if key < currentNode.key:
if currentNode.hasLeftChild():
self._put(key,val,currentNode.leftChild)
else:
currentNode.leftChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)
else:
if currentNode.hasRightChild():
self._put(key,val,currentNode.rightChild)
else:
currentNode.rightChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)
def __setitem__(self, key, value):
self._put(key,value)
## 查找鍵對應的值
def get(self,key):
if self.root:
res = self._get(key,self.root)
if res:
return res.payload
else:
return None
else:
return None
def _get(self,key,currentNode):
if not currentNode:
return None
elif currentNode.key == key:
return currentNode
elif key < currentNode.key:
return self._get(key,currentNode.leftChild)
else:
return self._get(key,currentNode.rightChild)
def __getitem__(self, key):
return self.get(key)
# 檢查樹中是否有某個鍵
def __contains__(self, key):
if self._get(key,self.root):
return True
else:
return False
# 刪除
def delete(self,key):
if self.size > 1:
nodeToRemove = self._get(key,self.root)
if nodeToRemove:
self.remove(nodeToRemove)
self.size = self.size - 1
else:
raise KeyError("Error,key not in tree")
elif self.size == 1 and self.root.key == key:
self.root = None
self.size = self.size - 1
else:
raise KeyError("Error,key not in tree")
def __delitem__(self, key):
self.delete(key)
"""
1. 待刪除節點沒有子節點
2. 待刪除節點只有一個子節點
3. 待刪除節點有兩個子節點
"""
# 尋找后繼結點
def findSuccessor(self):
succ = None
if self.hasRightChild():
succ = self.rightChild.findMin()
else:
if self.parent:
if self.isLeftChild():
succ = self.parent
else:
self.parent.rightChild = None
succ = self.parent.findSuccessor()
self.parent.rightChild = self
return succ
def findMin(self):
current = self
while current.hasLeftChild():
current = current.leftChild
return current
def spliceOut(self):
if self.isLeaf():
if self.isLeftChild():
self.parent.leftChild = None
else:
self.parent.rightChild = None
elif self.hasAnyChildren():
if self.hasLeftChild():
if self.isLeftChild():
self.parent.leftChild = self.leftChild
else:
self.parent.rightChild = self.leftChild
self.leftChild.parent = self.parent
else:
if self.isLeftChild():
self.parent.leftChild = self.rightChild
else:
self.parent.rightChild = self.rightChild
self.rightChild.parent = self.parent
def remove(self,currentNode):
if currentNode.isLeaf():
if currentNode == currentNode.parent.leftChild:
currentNode.parent.leftChild = None
else:
currentNode.parent.rightChild = None
elif currentNode.hasBothChildren():
succ = currentNode.findSuccessor()
succ.spliceOut()
currentNode.key = succ.key
currentNode.payload = succ.payload
else:
if currentNode.hasLeftChild():
if currentNode.isLeftChild():
currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
currentNode.parent.leftChild = currentNode.leftChild
elif currentNode.isRightChild():
currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
currentNode.parent.rightChild = currentNode.leftChild
else:
currentNode.replaceNodeData(currentNode.leftChild.key,
currentNode.leftChild.payload,
currentNode.leftChild.leftChild,
currentNode.leftChild.rightChild
)
else:
if currentNode.isLeftChild():
currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
currentNode.parent.leftChild = currentNode.rightChild
elif currentNode.isRightChild():
currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
currentNode.parent.rightChild = currentNode.rightChild
else:
currentNode.replaceNodeData(currentNode.rightChild.key,
currentNode.rightChild.payload,
currentNode.rightChild.leftChild,
currentNode.rightChild.rightChild
)
# 二叉搜索樹迭代器
def __iter__(self):
if self:
if self.hasLeftChild():
for elem in self.leftChild:
yield elem
yield self.key
if self.hasRightChild():
for elem in self.rightChild:
yield elem
class TreeNode:
def __init__(self,key,val,left = None,right = None,parent = None):
self.key = key
self.payload = val
self.leftChild = left
self.rightChild = right
self.parent = parent
def hasLeftChild(self):
return self.leftChild
def hasRightChild(self):
return self.rightChild
def isLeftChild(self):
return self.parent and self.parent.leftChild == self
def isRightChild(self):
return self.parent and self.parent.rightChild == self
def isRoot(self):
return not self.parent
def isLeaf(self):
return not (self.rightChild or self.leftChild)
def hasAnyChildren(self):
return self.rightChild or self.leftChild
def replaceNodeData(self,key,value,lc,rc):
self.key = key
self.payload = value
self.leftChild = lc
self.rightChild = rc
if self.hasLeftChild():
self.leftChild.parent = self
if self.hasRightChild():
self.rightChild.parent = self7.平衡二叉搜索樹（AVL樹）
實現AVL樹時，要記錄每個節點的平衡因子。
平衡因子 = 左右子樹的高度之差
→ 保證樹的平衡因子為-1，0,1，可以使得關鍵操作獲得更好的大O性能
#from 第6章樹.二叉搜索樹 import TreeNode
def _put(self, key, val, currentNode):
if key < currentNode.key:
if currentNode.hasLeftchi1d():
self._put(key, val, currentNode.leftChild)
else:
currentNode.leftChild = TreeNode(key, val,parent=currentNode)
self.updateBalance(currentNode.leftChild)
else:
if currentNode.hasRightChild():
self._put(key, val, currentNode.rightChild)
else:
currentNode.rightchild - TreeNode(key, val,parent=currentNode)
self.updateBalance(currentNode.rightChild)
def updateBalance(self, node):
if node.balanceFactor > 1 or node.balanceFactor < -1:
self.rebalance(node)
return
if node.parent != None:
if node.isLeftChild():
node.parent.balanceFactor += 1
elif node.isRightChild():
node.parent.balanceFactor -= 1
if node.parent.balanceFactor != 0:
self.updateBalance(node.parent)
# 實現左旋
def rotateLeft (self, rotRoot) :
newRoot = rotRoot .rightchild
rotRoot .rightChild = newRoot.leftChild
if newRoot . leftChild !=None :
newRoot . leftChild. parent = rotRoot
newRoot.parent =rotRoot.parent
if rotRoot .isRoot( ):
self.root = newRoot
else:
if rotRoot .isLeftChild():
rotRoot.parent .leftChild = newRoot
else:
rotRoot.parent .rightChild = newRoot
newRoot . leftChild = rotRoot
rotRoot.parent = newRoot
rotRoot. balanceFactor = rotRoot . balanceFactor + 1 - min(newRoot . balanceFactor,0)
newRoot . balanceFactor = newRoot . balanceFactor + 1 +max(rotRoot . balanceFactor,o )
# 實現再平衡
def rebalance(self, node) :
if node. balanceFactor < 0:
if node .rightChild .balanceFactor > 0:
self.rotateRight (node.rightChild)self.rotateLeft (node)
else:
self.rotateLeft (node)
elif node. balanceFactor > 0 :
if node . leftChild. balanceFactor < 0:
self.rotateLeft (node. leftChild)
self.rotateRight (node)
else:
self.rotateRight (node)
nceFactor + 1 - min(newRoot . balanceFactor,0)
newRoot . balanceFactor = newRoot . balanceFactor + 1 +max(rotRoot . balanceFactor,o )
# 實現再平衡
def rebalance(self, node) :
if node. balanceFactor < 0:
if node .rightChild .balanceFactor > 0:
self.rotateRight (node.rightChild)self.rotateLeft (node)
else:
self.rotateLeft (node)
elif node. balanceFactor > 0 :
if node . leftChild. balanceFactor < 0:
self.rotateLeft (node. leftChild)
self.rotateRight (node)
else:
self.rotateRight (node)原文鏈接：https://blog.csdn.net/weixin_44226181/article/details/125793309
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