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組合數(shù)的計算
使用加法遞推—O(n^2)
邊界條件
int C[1001][1001]; // 根據(jù)實際需要開數(shù)組,必要時采用高精度類型
//……
memset(C,0,sizeof(C));
for (int i=0;i<=n;i++)
{
C[i][0]=1;
for (int j=0;j<=i;j++)
C[i][j]=C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
}
使用乘法遞推—O(n)
邊界條件
必須先乘后除,否則除不開
一個小優(yōu)化:
(m>n/2時用)
int C[1001]; // C[m]其實表示C[n][m],必要時采用高精度類型
……
C[0]=1;
if (m>n-m) m=n-m;
for (int i=1;i<=m;i++)
C[i] = (n-i+1) * C[i-1] / i; // 如果怕溢出,可以把中間結(jié)果轉(zhuǎn)化成long long。
排列和組合的產(chǎn)生(無重集元素)
int item[N]; // 第i位要放置的數(shù)字
bool used[N];
int n,m;
全排列
將 n 個數(shù)字 1~n 進行排序,有多少種排序方法?
使用深度優(yōu)先搜索,對 n 個位置逐個進行試探。時間復雜度為 O(n!)。
void full_ permutation(int depth)
{
if (depth==n)
{
// print(); // 輸出結(jié)果
return;
}
for (int i=0; i<n; i++)
if (!used[i])
{
used[i]=true;
item[depth]=i+1;
try(depth+1);
used[i]=false; // 別忘記清除”使用”標記
}
}
一般組合
從 n 個元素 1~n 中任取 m 個元素,有多少種取法?
一個合法的組合有這樣一個特點:排在右面的數(shù)字一定嚴格大于左面的數(shù)字。比如說某一位上取了 3,那么從 4 開始搜索下一位就可以了。
void combination(int depth, int p)
{
if (depth==m)
{
// print(); // 輸出結(jié)果
return;
}
for (int i=p+1 ; i<n-(m-depth) ; i++)
{
// 由于后面的元素一定前面的大,所以不需要標記used了。
item[depth]=i;
try(depth+1);
}
}
combination(0,0);
全組合
輸入 n 個數(shù),求這 n 個數(shù)構(gòu)成的集合的所有非空子集。
和一般組合不同,這次只要產(chǎn)生一個解,就馬上輸出。
void full_combination(int l, int p)
{
for (int i=0; i<l; i++) // 每次進入遞歸函數(shù)都輸出
cout<<item[i]<<" ";
cout<<endl;
for (int i=p; i<n; i++)
{
item[l] = i; // 在l位置放上該數(shù)
full_combination(l+1, i+1); // 填下一個位置
}
}
full_combination(0, 0);
注意:對于一個整數(shù),每一位不是 0 就是 1,所以可以用整數(shù)來表示一個集合。具體實例可參見 “2.8Healthy Holsteins”。
由上一排列產(chǎn)生下一排列
① 從右往左尋找第一個小于右邊的數(shù),位置為 j。
② 在 j 位置的右邊尋找大于 aj的最小數(shù)字 ak(位置 k)
③ 將 aj 與 ak的值進行交換
④ 將數(shù)列的 j+1 位到 n 位倒轉(zhuǎn)。
int a[N]; // 初始化:a[i]是字典序最小的排列, 0≤i<N
int j,k, p,q, temp;
j=(n-1) - 1;
while ((j>=0)&&(a[j]>a[j+1])) j--; // 從右往左尋找第一個小于右邊的數(shù),位置為j。
if (j>=0) // 如果j<0說明已經(jīng)排完了。
{
k=n-1;
while (a[k]<a[j]) k--; // 在j位置的右邊尋找大于aj的最小數(shù)字ak(位置k)
swap(a[j], a[k]); // 將aj與ak的值進行交換
for (p=j+1,q=n-1; p<q; p++,q--) // 將數(shù)列的j+1位到n位倒轉(zhuǎn)
swap(a[p], a[q]);
}
STL 中有與此相同的算法。頭文件為<algorithm>。
next_permutation(序列第一項的地址, 序列最后一項的地址+1):產(chǎn)生下一排列。
prev_permutation(序列第一項的地址, 序列最后一項的地址+1):產(chǎn)生上一排列。
這兩個函數(shù)能夠用于可重集的排列。
由上一組合產(chǎn)生下一組合
① 從右向左尋找可以往下取一個元素的數(shù),位置為 j。
(舉個例子:從 7 個數(shù)中取 4 個數(shù),有一個組合為 1367,那么 6、7 就不能再往下取了)
② 數(shù)列的 j 位到 n 位重新取元素。
注意:
① 從 N 個連續(xù)元素中取 M 個元素。如果元素序號不連續(xù),就需要修改下面的“+1”。
② 右側(cè)的數(shù)字一定嚴格大于左側(cè)的數(shù)字。
int a[M]; // 初始化:a[i]是字典序最小的排序, 0≤i<M,1≤a[i]≤N
//……
int j=m-1;
while ((j>=0)&&(a[j]==n-(m-1 -j))) j--;
if (i>=0)
{
a[j]++;
for (int k=j+1; k<m; k++) a[k]=a[k-1]+1;
}
原文鏈接:https://blog.csdn.net/zhengheda/article/details/125751402
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