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C++數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之二叉搜索樹的實(shí)現(xiàn)詳解_C 語言

作者：。菀枯。 ? 更新時(shí)間： 2022-10-18 編程語言

前言

今天我們來學(xué)一個(gè)新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：二叉搜索樹。

介紹

二叉搜索樹也稱作二叉排序樹，它具有以下性質(zhì)：

  • 非空左子樹的所有鍵值小于其根節(jié)點(diǎn)的鍵值
  • 非空右子樹的所有鍵值大于其根節(jié)點(diǎn)的鍵值
  • 左，右子樹都是二叉搜索樹

那么我先畫一個(gè)二叉搜索樹給大家看看，是不是真的滿足上面的性質(zhì)。

我們就以根節(jié)點(diǎn)6為例子來看，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)比6小的都在6的左邊，而比6大的都在6的右邊。對(duì)于6的左右子樹來說，所有的節(jié)點(diǎn)都遵循這個(gè)規(guī)則。

同時(shí)我們還可以發(fā)現(xiàn)如果對(duì)搜索二叉樹進(jìn)行一個(gè)中序遍歷，我們得到的序列是個(gè)有序序列，這就是為什么二叉搜索樹也可以稱作二叉排序樹。

實(shí)現(xiàn)

節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)

template <typename K>
struct BTreeNode
{
	BTreeNode<K>* _left;
	BTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BTreeNode(const K& key)
		:_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr)
	{}
};

二叉搜索樹的查找

二叉搜索樹的查找思路很簡單：要找的值比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)小就去左子樹找，比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)大就往右子樹找，找到空節(jié)點(diǎn)就說明沒找到返回false即可。

首先我們先看看遞歸的版本。

bool findR(const T &val, Node *root) //T為節(jié)點(diǎn)的K, Node為節(jié)點(diǎn)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return false;
    }

    if (root->_key < val)
    {
        return findR(root->_right, val);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return findR(root->_left, val);
    }
    else
    {
        return true;
    }
}

接著看看非遞歸的版本

bool find(const T &val)
{
    Node *cur = _root; //_root為二叉搜索樹的根節(jié)點(diǎn)
    while (cur)
    {
        if (val < cur->_key)
        {
            cur = cur->_left;
        }
        else if (val > cur->_key)
        {
            cur = cur->_right;
        }
        else
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

二叉搜索樹的插入

二叉搜索樹的插入和查找差別不大，首先尋找插入位置，比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)小就往左子樹找，比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)大就往右子樹找，直到找到空指針時(shí)，就可以進(jìn)行一個(gè)插入。

那么要插入的值和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)相同該怎么辦呢？我們此時(shí)實(shí)現(xiàn)的二叉搜索樹是一個(gè)無重復(fù)元素的二叉搜索樹，所以對(duì)于相同的值我采取的方式是返回一個(gè)false，大家如果想實(shí)現(xiàn)一個(gè)有重復(fù)元素的二叉搜索樹，可以選擇將重復(fù)的值放在右子樹或左子樹都可。

二叉搜索樹的插入和查找一樣，有遞歸和非遞歸兩個(gè)版本，首先我們先來看看非遞歸的版本。

bool insert(const T &val)
{
    //空樹直接改變根節(jié)點(diǎn)
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(val);
        return true;
    }
    
     //非空樹先尋找插入位置
    Node *pre = nullptr;
    Node *cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (val > cur->_key)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (val < cur->_key)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
    //判斷新節(jié)點(diǎn)該插入到哪里
    cur = new Node(val);
    if (val < pre->_key)
    {
        pre->_left = cur;
    }
    else
    {
        pre->_right = cur;
    }
    return true;
}

接下來用一個(gè)動(dòng)畫來表示一下這個(gè)插入過程。

接下來我們來看看遞歸版本是如何實(shí)現(xiàn)的

bool insertR(const T &val, Node *&root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        Node *newNode = new Node(val);
        root = newNode;
    }

    if (root->_key < val)
    {
        return insertR(val, root->_right);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return insertR(val, root->_left);
    }
    else
    {
        return false;
    }
}

此時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，遞歸版本沒有非遞歸版本中的parent指針了，參數(shù)列表中只有一個(gè)root指針，這是為什么呢？

我們可以看見我們的root指針不僅是一個(gè)指針，同時(shí)它還是一個(gè)引用。這就意味著我們對(duì)root的修改也可以影響上一層傳遞過來的指針的值。所以此時(shí)我們不需要parent指針，就可以對(duì)上一個(gè)節(jié)點(diǎn)的指針進(jìn)行一個(gè)修改。

二叉搜索樹的刪除

理論部分：

二叉搜索樹的刪除相比前面兩個(gè)要麻煩那么一丟丟，首先當(dāng)然是找要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)，找到后通常有以下三種情況：

  • 此節(jié)點(diǎn)無左右子樹
  • 此節(jié)點(diǎn)有右子樹或右子樹
  • 此節(jié)點(diǎn)有左右子樹

我們要做的就是對(duì)這三種情況分別進(jìn)行一個(gè)處理。

1.首先是此節(jié)點(diǎn)無左右子樹，這種情況我們直接將此節(jié)點(diǎn)刪除即可

2.然后是此節(jié)點(diǎn)只有一顆子樹，這個(gè)也比較簡單，如果此節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)，那么我們只需要將父節(jié)點(diǎn)的左指針改成指向此節(jié)點(diǎn)的子樹即可。

3.最后一種就是既有左子樹又有右子樹的情況了，此時(shí)為了不破壞結(jié)構(gòu)，我們需要用到替換刪除法。首先我們先找到要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)，然后找節(jié)點(diǎn)的左子樹的最右節(jié)點(diǎn)或右子樹的最左節(jié)點(diǎn)，將兩個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一下互換，再將原節(jié)點(diǎn)刪除。

代碼部分：

首先是非遞歸版本

bool erase(const T &val)
{
    Node *cur = _root;
    Node *pre = nullptr;
    //尋找刪除位置
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < val)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > val)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else //找到了進(jìn)行刪除
        {
            if (cur->_left == nullptr) //左子樹為空
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_right;
                }
                else
                {
                    if (cur == pre->_left)
                    {
                        pre->_left = cur->_right;
                    }
                    else
                    {
                        pre->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else if (cur->_right == nullptr) //右子樹為空
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (cur == pre->_left)
                    {
                        pre->_left = cur->_left;
                    }
                    else
                    {
                        pre->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else //左右子樹都不為空
            {
                //找左子樹的最右節(jié)點(diǎn)
                Node *tmp = cur->_left;
                Node *tmp_pre = cur;
                while (tmp->_right) 
                {
                    tmp_pre = tmp;
                    tmp = tmp->_right;
                }
				//節(jié)點(diǎn)互換
                cur->_key = tmp->_key;

                if (tmp == tmp_pre->_left)
                {
                    tmp_pre->_left = tmp->_left;
                }
                else
                {
                    tmp_pre->_right = tmp->_left;
                }

                delete tmp;
            }
            return true;
        }
    }
    return false;
}

接下來是遞歸版本

bool eraseR(const T &val, Node *&root)
{
    //找不到返回false
    if (root == nullptr)
    {
        return false;
    }
	//尋找插入位置
    if (root->_key < val)
    {
        return eraseR(val, root->_right);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return eraseR(val, root->_left);
    }
    else
    {
        if (root->_left == nullptr)//左子樹為空
        {
            root = root->_right;
        }
        else if (root->_right == nullptr)//右子樹為空
        {
            root = root->_left;
        }
        else //左右子樹都不為空
        {
            Node *cur = root->_left;
            while (cur->_right)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            swap(cur->_key, root->_key);
            return eraseR(val, root->_left);
        }
        return true;
    }
}

總結(jié)

大家覺得二叉搜索樹的時(shí)間復(fù)雜度是多少呢？O(logn)嗎？不，它的時(shí)間復(fù)雜度還是O(n)，當(dāng)插入數(shù)據(jù)是有序的，二叉搜索樹會(huì)發(fā)生退化，變成一個(gè)單支樹。比如下面這張圖：

為了解決這個(gè)問題，有人對(duì)二叉搜索樹進(jìn)行了一些優(yōu)化，如：AVL樹和紅黑樹，之后我也會(huì)帶著大家來實(shí)現(xiàn)一個(gè)完整的AVL樹和紅黑樹

原文鏈接：https://blog.csdn.net/m0_60447315/article/details/126464037

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