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Python動態演示旋轉矩陣的作用詳解_python

作者：微小冷 ? 更新時間： 2023-02-01 編程語言

先新建一組散點充當坐標軸

為了比較直觀地展示旋轉過程，這里通過散點來新建三個坐標軸，通過對這三個坐標軸的轉動，來直觀地展現轉動矩陣對坐標變換的影響。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def setAxis(N, axis=0):
    xs = np.arange(N)
    ys = np.zeros_like(xs)
    zs = np.zeros_like(xs)
    if axis==0 : return [xs, ys, zs]
    elif axis==1 : return [ys, xs, zs]
    else: return [ys, zs, xs]

def drawAxis(X,Y,Z):
    ax = plt.subplot(projection='3d')
    ax.scatter(*X, c='r')
    ax.scatter(*Y, c='g')
    ax.scatter(*Z, c='b')
    plt.show()

X = setAxis(10, 0)
Y = setAxis(10, 1)
Z = setAxis(10, 2)    
drawAxis(X, Y, Z)

效果為

旋轉矩陣與初步演示

歐拉角是用來唯一地確定定點轉動剛體位置的三個一組獨立角參量，由章動角θ、進動角ψ和自轉角φ組成，為L.歐拉首先提出，故得名。

為了盡快進入演示部分，故對原理的介紹從略，僅從二維平面上的旋轉矩陣出發，做一個簡單的推導，而三維旋轉矩陣，至少在形式上與二維是雷同的。

假設坐標系中有一個向量 ( x , y )，其模長為，角度為。若將其圍繞坐標原點逆時針旋轉 θ \theta θ，則其坐標變為

由于 ，則上式可以寫為

寫成矩陣形式即為

也就是說，在平面直角坐標系上，向量繞原點順時針旋轉 θ \theta θ，相當于左乘一個旋轉矩陣。

推廣到三維，為了限制 x y xy xy坐標平面上的旋轉，要將其旋轉中心從原點擴展為繞著 z z z軸旋轉，從而三維旋轉矩陣可推廣為

同理可得到繞三個軸轉動的旋轉矩陣，為了書寫方便，記，可列出下表。

下面用lambda表達式來實現，用以描述單個軸的旋轉過程。

import numpy as np
# 將角度轉弧度后再求余弦
cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))
sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))

# 即 Rx(th) => Matrix
Rx = lambda th : np.array([
    [1, 0,       0],
    [0, cos(th), -sin(th)],
    [0, sin(th), cos(th)]])
Ry = lambda th : np.array([
    [cos(th),  0, sin(th)],
    [0      ,  1, 0],
    [-sin(th), 0, cos(th)]
])
Rz = lambda th : np.array([
    [cos(th) , sin(th), 0],
    [-sin(th), cos(th), 0],
    [0       , 0,       1]])

有了旋轉矩陣，就可以旋轉，接下來讓坐標軸沿著三個軸分別旋轉30°，其效果如下

代碼如下

def drawAxis(X, Y, Z, fig, i):
    ax = fig.add_subplot(1,3,i,projection='3d')
    ax.plot(*X, c='r')
    ax.plot(*Y, c='g')
    ax.plot(*Z, c='b')

Xx, Yx, Zx = Rx(30) @ X, Rx(30) @ Y, Rx(30) @ Z
Xy, Yy, Zy = Ry(30) @ X, Ry(30) @ Y, Ry(30) @ Z
Xz, Yz, Zz = Rz(30) @ X, Rz(30) @ Y, Rz(30) @ Z

fig = plt.figure("rotate")
drawAxis(Xx, Yx, Zx, fig, 1)
drawAxis(Xy, Yy, Zy, fig, 2)
drawAxis(Xz, Yz, Zz, fig, 3)

plt.show()

轉動次序對旋轉的影響

由于旋轉被建模成了矩陣，而眾所周知矩陣乘法是不可交換的，也就是說，就算繞著三個坐標軸旋轉相同的角度，也會因為轉動次序不同而引發不同的結果。

XYZ = [X, Y, Z]
R_xyz = [Rz(30) @ Ry(30) @ Rx(30) @ R for R in XYZ]
R_zyx = [Rx(30) @ Ry(30) @ Rz(30) @ R for R in XYZ]
R_yxz = [Rz(30) @ Rx(30) @ Ry(30) @ R for R in XYZ]

fig = plt.figure("rotate")
drawAxis(*R_xyz, fig, 1)
drawAxis(*R_zyx, fig, 2)
drawAxis(*R_yxz, fig, 3)

plt.show()

得到下圖

動態演示旋轉過程

30°的轉動之后，坐標軸變得面目全非，接下來要做的就是動態繪制這三個坐標軸的旋轉過程

from numpy.random import rand
from matplotlib import animation

Rot = [Rx, Ry, Rz]
# 根據指定坐標軸順序來以指定角度旋轉向量
def rotVec(vec, axis, degs):
    for i in range(len(axis)):
        vec = Rot[axis[i]](degs[i]) @ vec
    return vec

# 若x在[a,b]區間，則對a取模，若小于a置0，大于b為b-a
def truncMod(x, a, b):
    if x < a : return 0
    elif x >= b : return b-a
    else : return x%(b-a)

# 三個坐標軸
XYZ = [setAxis(10,i) for i in range(3)]

fig = plt.figure(figsize=(5,5))
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.grid()

lines = [ax.plot([],[],[], '-', lw=0.5, c=c)[0] 
    for c in 'rgb']

def animate(n):
    # 按照xyz順序旋轉
    axis = [2,1,0]
    degs = [truncMod(n, st, st + 30) for st in [0,30,60]]
    newXYZ = [rotVec(x, axis, degs) for x in XYZ]
    for i in range(3):
        lines[i].set_data(newXYZ[i][0],newXYZ[i][1])
        lines[i].set_3d_properties(newXYZ[i][2])
    return lines

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
    range(90), interval=50, blit=True)

#plt.show()
ani.save("zyx.gif")

效果如下

x-y-z

z-y-x

總結

原文鏈接：https://tinycool.blog.csdn.net/article/details/127729265

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