一、前言

卷起來好吧，元旦已經過了，就開始寫文章模式了。

這篇文章會對完全數的各種偵測進行詳細解釋。寫作不易，支持一波～

二、完全數是什么

1、定義

老規矩，先來了解完全數是什么。

完全數，又稱完美數，定義為：這個數的所有因數（不包括這個數本身）加起來剛好等于這個數。比如6就是完全數，因為6的因數有1，2，3（不包括6本身），1+2+3正好等于6。

所以如果有人給你扣6，那說明他在夸贊你十分完美（bushi。

完全數是一個叫畢達哥拉斯的提出來的，被譽為“最古老的數學問題”，這人還提出了我們熟悉的勾股定理和黃金比例。

目前一共找到了51個完全數，非常的稀有，比較小的有6、28、496、8128、33550336等等。

目前還沒有人找到奇數完全數，也沒有人能證明“沒有奇數完全數”。但是，一個叫做奧斯丁·歐爾的人證明出來：要是有奇完全數，必須能表示成12x質數+1或者36x質數+9，并且在10^300以內沒有奇完全數的存在。

完全數會越來越大，第39個完全數有25674127位數，如果用四號字字體打印出來，也能變成一本字典。

2、規律

這些數之間有沒有一些規律呢？

有，并且很多。（以下規律僅僅是目前發現的完全數都符合這個定律，部分未證明）

第一，完全數都是以6或28結尾的。

第二，完全數都是三角形數，例如6可以表示成1+2+3，28可以表示成1+2+3+4+5+6+7。

第三，除了6以外都可以表示成連續隔2奇立方數之和。例如28表示成1^3+3^3，496表示成1^3+3^3+5^3+7^3。

第四，完全數的所有因數的倒數的和為2。例如6所有因數的倒數是1,1/2,1/3,1/6，相加為2。28所有因數的倒數是1,1/2,1/4,1/7,1/14,1/28，相加為2。

第五，完全數都可以表示成2的連續數次方之和。例如6可以表示成2^1+2^2，28可以表示成2^2+2^3+2^4。

第六，6以外的完全數經過碾轉之后為1。碾轉就是把他的各個位數相加一直到只剩一位數。例如28碾轉數為：2+8=10，1+0=1。496碾轉數為:4+9+6=19，1+9=10，1+0=1。

第七，6以外的完全數除以9一定余數為1。例如：28除以9=3…1，496除以9=55…1。

知道為啥有一個別名叫完美數了吧？太完美了！

3、梅森素數

之后又冒出來了一個梅森素數，這是歐幾里得整出來的。我們定義P是一個質數，如果2^p-1也是質數，那么這個質數就是“梅森素數”。

知道梅森素數之后，把P帶入公式2^（p-1）（2^p-1），咔咔一頓算，結果就是完全數。

我們想想是不是這樣。

因為2是質數，2^2-1是3也是質數，那么3就是梅森素數。把2帶入公式，咔咔一頓算結果就是6。

3是質數，2^3-1是7也是質數，那么7就是梅森素數。把3帶入公式，咔咔一頓算結果就是28。

歐拉證明出來，所有完全數都符合這個形式。有了這個公式計算就更簡便了。

三、版本（1.0）:硬算

接下來，我們先寫程序硬算一遍。

我們需要讓程序找到一個數的每一個除了本身之外的因數，還要把它們都加起來，這些程序可以放在一個函數里面。之后再套上循環，數自增重復調用就行了。是不是很簡單？

先完成找數的所有因數的效果。

我們要創建一個函數，用for循環和range套上要尋找的數字，如果這個數是要尋找的數字的因數，就用一個變量自增。檢測結束后檢測因數和要尋找的數字是否相等，返回真或假。

def find(find_number):#新建函數find查找因數并進行判斷
    he=0#初始化變量
    for i in range(1,find_number):#循環find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因數
            he=he+i#賦值
    #這時候，he就是find_number所有因數的和了
    if he==find_number:#比較
        return True
    else:
        return False

最關鍵的部分已經做好了，補全代碼你可以自己試試～

補全代碼，先詢問要檢測到哪里，之后while循環或者for+range來計數，調用函數獲取信息，十分的簡單。

完整程序就是這樣：

def find(find_number):#新建函數find查找因數并進行判斷
    he=0#初始化變量
    for i in range(1,find_number):#循環find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因數
            he=he+i
    #這時候，he就是find_number所有因數的和了
    if he==find_number:#比較
        return True
    else:
        return False
a=int(input("輸入要檢測1到多少位的完全數"))
for i in range(1,a+1):
    if find(i):
        print(i,"是完全數")

四、版本1.1:數的末尾偵測

從上文我們可以知道，完全數的末尾都是6或者28，這樣的話，我們就又能節約一下運行時間了。

有人問了：誒誒誒，怎么知道一個整數的末尾是多少呢？

很簡單，變成字符串再截取就行了。

def find(find_number):#新建函數find查找因數并進行判斷
    he=0#初始化變量
    for i in range(1,find_number):#循環find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因數
            he=he+i
    #這時候，he就是find_number所有因數的和了
    if he==find_number:#比較
        return True
    else:
        return False
a=int(input("輸入要檢測1到多少位的完全數"))
for i in range(1,a+1):
    if str(i)[-1]=='6' or str(i)[-1]=='8':
        if find(i):
            print(i,"是完全數")

這樣運行速度直接快了一倍好吧。

五、版本1.2:除以9偵測

完全數除以9都余1，我們也可用這一點來加快運行速度。不過，千萬不要忽略“排除6”，再加一個是不是6的偵測。看起來更煩瑣了，但是這樣做將近能快3倍速度。

def find(find_number):#新建函數find查找因數并進行判斷
    he=0#初始化變量
    for i in range(1,find_number):#循環find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因數
            he=he+i
    #這時候，he就是find_number所有因數的和了
    if he==find_number:#比較
        return True
    else:
        return False
a=int(input("輸入要檢測1到多少位的完全數"))
for i in range(1,a+1):
    if str(i)[-1]=='6' or str(i)[-1]=='8':
        if i%9==1 or i==6:
            if find(i):
                print(i,"是完全數")

六、版本2.0:梅森素數偵測

這是最后的終極方法，就是尋找梅森素數。

首先還是要偵測素數的大循環，if來判斷素數是不是梅森素數，是的話就代入公式輸出，十分的簡單。

在上一個哥德巴 赫猜想的文章里面已經有了素數偵測的函數，這里直接拿過來用，誒嘿。

c，運行太快了，停不住了，誒！

（嗶~）

我們再加一個等待時間就好了，有點快了。

from time import sleep
zhishu=[]#儲存質數的列表
for i in range(2,10000):#循環檢測質數
    for j in range(2,i-1):#2到i內的每一個數
        if i%j==0:#如果i不是質數
            break#退出循環
    else:#如果正常結束循環就是i是質數
        zhishu.append(i)#zhishu添加i
 
for shu in zhishu:
    if 2**shu-1 in zhishu:
        print(2**(shu-1)*(2**shu-1),"是完全數")
        sleep(1)

但是這樣檢測有一個致命的缺點——只能檢測10000以內的，因為我們用的是in來判斷2**shu-1是不是質數，大于10000就沒有了，要是能有一個質數表數據的話，肯定能找他十幾個。