一：四大取整 ?

1.1、 0向取整

看代碼：

#include <stdio.h>
int main()
{
	//本質是向0取整
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\n", i); //結果是：-2
	printf("%d\n", j); //結果是：2
    printf("%d %d\n", 5 / 2, -5 / 2);  // 2 -2
	return 0;
}

C中默認0向取整，畫圖解釋0向取整：

?C語言當中有一個trunc函數，運用的也是0向取整。注意引用頭文件#include<math.h>.示例如下：

#include <stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\n", i); //結果是：-2
	printf("%d\n", j); //結果是：2
	printf("%d\n", (int)trunc(2.9)); //結果是：2 //結果是：-2
	printf("%d\n", (int)trunc(-2.9));//結果是：-2
	return 0;
}

1.2、? -∞取整（ 地板取整）

其實運用的是floor函數，跟上述trunc一樣引用#include<math.h>

看代碼：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", floor(-2.9)); // -3.0
	printf("%.1f\n", floor(-2.1)); // -3.0
	printf("%.1f\n", floor(2.9));  // 2.0
	printf("%.1f\n", floor(2.1));  // 2.0
	return 0;
}

畫圖解釋-∞取整

1.3、 +∞取整

運用的是ceil函數，同樣需要#include<math.h>

看代碼：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", ceil(-2.9));  // -2.0
	printf("%.1f\n", ceil(-2.1));  // -2.0
	printf("%.1f\n", ceil(2.9));   // 3.0
	printf("%.1f\n", ceil(2.1));   // 3.0
	return 0;
}

畫圖解釋+∞取整：

1.4、 四舍五入取整

運用的是round函數，同樣需要#include<math.h>

看代碼：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", round(-2.9)); // -3.0
	printf("%.1f\n", round(-2.1)); // -2.0
	printf("%.1f\n", round(2.9));  // 3.0
	printf("%.1f\n", round(2.1));  // 2.0
}

1.5、 例子匯總

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
	const char* format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n";
	printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n");
	printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n");
	printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
	printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8));
	printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5));
	printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
	printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
	printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));
	return 0;
}

?結論：

浮點數（整數/整數），是有很多的取整方式的。

二：取模 / 取余

2.1、 概念

如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r，滿足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被稱為商，r 被稱為余數。

2.2、 示例（C和Python）

#include <stdio.h>
int main()
{
	int a = 10;
	int d = 3;
	printf("%d\n", a % d); //結果是1
	//因為：a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r<d(3)
	//所以：a = q*d+r -> 10=3*3+1
 
	int m = -10;
	int n = 3;
	printf("%d\n", m / n); //C語言中是-3，很好理解
	printf("%d\n", m % n); //C語言是-1
 
	return 0;
}

在C語言中，我們對-10/3=-3以及-10%3=-1很好理解，沒有爭議

而在Python中，-10/3竟然=-4，而-10%3竟然=2

為什么呢？

結論：很顯然，上面關于取模的定義，并不能滿足語言上的取模運算

解析：

因為在C中，現在-10%3出現了負數，根據定義：滿足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d，C語言中的余數，是不滿足定義的， 因為，r<0了。

故，大家對取模有了一個修訂版的定義： 如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r，滿足 a = q*d + r , q 為整數，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被稱為商，r 被稱為余數。

有了這個新的定義，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解釋了。

解釋C: -10 = (-3) * 3 + (-1)

解釋Python：-10 = （?）* 3 + 2,其中，可以推到出來,'?'必須是-4(后面驗證).即-10 = （-4）* 3 + 2，才能 滿足定義。

所以，在不同語言，同一個計算表達式，負數“取模”結果是不同的。我們可以稱之為分別叫做正余數 和 負余數

是什么決定了這種現象？

由上面的例子可以看出，具體余數r的大小，本質是取決于商q的。

而商，又取決誰呢？取決于除法計算的時候，取整規則。

2.3、 取余和取模一樣嗎？

細心的同學，應該看到了，我上面的取模都是帶著""的。說明這兩個并不能嚴格等價(雖然大部分情況差不多) 取余或者取模，都應該要算出商，然后才能得出余數。

本質 1 取整：

取余：盡可能讓商，進行向0取整。

取模：盡可能讓商，向-∞方向取整。

故：

C中%,本質其實是取余。

Python中%，本質其實是取模。

理解鏈：

對任何一個大于0的數，對其進行0向取整和-∞取整，取整方向是一致的。故取模等價于取余 對任何一個小于0的數，對其進行0向取整和-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等價于取余

同符號數據相除，得到的商，一定是正數（正數vs正整數），即大于0！ 故，在對其商進行取整的時候，取模等價于取余。

本質 2 符號：

參與取余的兩個數據，如果同符號，取模等價于取余

2.4、 計算數據同符號

看代碼：

#include <stdio.h>
int main()
{
	printf("%d\n", 10 / 3);  // 3
	printf("%d\n\n", 10 % 3);// 1
	printf("%d\n", -10 / -3); // 3
	printf("%d\n\n", -10 % -3); // -1
	return 0;
}

在Python中，我們發現運行結果和上述一樣。

結論：通過對比試驗，更加驗證了，參與取余的兩個數據，如果同符號，取模等價于取余

2.5、 計算數據不同符號

看代碼：

#include <stdio.h>
int main()
{
	printf("%d\n", -10 / 3); //結果：-3
	printf("%d\n\n", -10 % 3); //結果：-1 為什么? -10=(-3)*3+(-1)
	printf("%d\n", 10 / -3); //結果：-3
	printf("%d\n\n", 10 % -3); //結果：1 為什么？10=(-3)*(-3)+1
	return 0;
}

而在Python中，結果卻不是這樣的。

明顯結論：如果不同符號，余數的求法，參考之前定義。而余數符號，與被除數相同。

為什么呢？

重新看看定義：如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r，滿足 a = q*d + r , q 為整數，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被稱為商，r 被稱為余數

a = q*d + r 變換成 r = a - q*d 變換成 r = a + (-q*d)

對于：x = y + z，這樣的表達式，x的符號 與 |y|、|z|中大的數據一致

而r = a + (-q*d)中，|a| 和 |-q*d|的絕對值誰大，取決于商q的取整方式。

c是向0取整的，也就是q本身的絕對值是減小的。如：

-10/3=-3.333.33 向0取整 -3. a=-10 |10|, -q*d=-(-3)*3=9 |9|

10/-3=-3.333.33 向0取整 -3. a=10 |10|, -q*d=-(-3)*(-3)=-9 |9|

絕對值都變小了

python是向-∞取整的，也就是q本身的絕對值是增大的。

-10/3=-3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=-10 |10|, -q*d=-(-4)*3=12 |12|

10/-3=--3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=10 |10|, -q*d=-(-4)*(-3)=-12 |12|

絕對值都變大了

結論：如果參與取余的兩個數據符號不同，在C語言中(或者其他采用向0取整的語言如：C++，Java)，余數符號，與被除數 相同。

2.6、 總結

（1）浮點數(或者整數相除)，是有很多的取整方式的。

（2）如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r，滿足 a = q*d + r , q 為整數，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被稱為商，r 被稱為余數。

（3）在不同語言，同一個計算表達式，“取模”結果是不同的。我們可以稱之為分別叫做正余數 和 負余數

（4）具體余數r的大小，本質是取決于商q的。而商，又取決于除法計算的時候，取整規則。

（5）取余vs取模： 取余盡可能讓商，進行向0取整。取模盡可能讓商，向-∞方向取整。

（6）參與取余的兩個數據，如果同符號，取模等價于取余

（7）如果參與取余的兩個數據符號不同，在C語言中(或者其他采用向0取整的語言如：? ? ? ? ?C++，Java)，余數符號，與被 除數相同。（因為采用的向0取整）