為什么浮點精度運算會有問題

我們平常使用的編程語言大多都有一個問題——浮點型精度運算會不準(zhǔn)確。比如

double num = 0.1 + 0.1 + 0.1;
// 輸出結(jié)果為 0.30000000000000004
double num2 = 0.65 - 0.6;
// 輸出結(jié)果為 0.05000000000000004

筆者在測試的時候發(fā)現(xiàn) C/C++ 竟然不會出現(xiàn)這種問題，我最初以為是編譯器優(yōu)化，把這個問題解決了。但是 C/C++ 如果能解決其他語言為什么不跟進？根據(jù)這個問題的產(chǎn)生原因來看，編譯器優(yōu)化解決這個問題邏輯不通。后來發(fā)現(xiàn)是打印的方法有問題，打印輸出方法會四舍五入。使用 printf("%0.17f\n", num); 以及 cout << setprecision(17) << num2 << endl; 多打印幾位小數(shù)即可看到精度運算不準(zhǔn)確的問題。

那么精度運算不準(zhǔn)確這是為什么呢？

我們接下來就需要從計算機所有數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式二進制說起了。如果大家很了解二進制與十進制的相互轉(zhuǎn)換，那么就能輕易的知道精度運算不準(zhǔn)確的問題原因是什么了。如果不知道就讓我們一起回顧一下十進制與二進制的相互轉(zhuǎn)換流程。

一般情況下二進制轉(zhuǎn)為十進制我們所使用的是按權(quán)相加法。十進制轉(zhuǎn)二進制是除2取余，逆序排列法。很熟的同學(xué)可以略過。

// 二進制到十進制
10010 = 0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 0 * 2^2 + 0 * 2^3 + 1 * 2^4 = 18  
 
// 十進制到二進制
18 / 2 = 9 .... 0 
9 / 2 = 4 .... 1 
4 / 2 = 2 .... 0 
2 / 2 = 1 .... 0 
1 / 2 = 0 .... 1
 
10010

那么，問題來了十進制小數(shù)和二進制小數(shù)是如何相互轉(zhuǎn)換的呢？

十進制小數(shù)到二進制小數(shù)一般是整數(shù)部分除 2 取余，逆序排列，小數(shù)部分使用乘 2 取整數(shù)位，順序排列。二進制小數(shù)到十進制小數(shù)還是使用按權(quán)相加法。

// 二進制到十進制
10.01 = 1 * 2^-2 + 0 * 2^-1 + 0 * 2^0 + 1 * 2^1 = 2.25
 
// 十進制到二進制
// 整數(shù)部分
2 / 2 = 1 .... 0
1 / 2 = 0 .... 1
// 小數(shù)部分
0.25 * 2 = 0.5 .... 0 
0.5 * 2 = 1 .... 1 
 
// 結(jié)果 10.01

轉(zhuǎn)小數(shù)我們也了解了，接下來我們回歸正題，為什么浮點運算會有精度不準(zhǔn)確的問題。接下來我們看一個簡單的例子 2.1 這個十進制數(shù)轉(zhuǎn)成二進制是什么樣子的。

2.1 分成兩部分
// 整數(shù)部分
2 / 2 = 1 .... 0
1 / 2 = 0 .... 1
 
// 小數(shù)部分
0.1 * 2 = 0.2 .... 0
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
............

落入無限循環(huán)結(jié)果為 10.0001100110011........ ， 我們的計算機在存儲小數(shù)時肯定是有長度限制的，所以會進行截取部分小數(shù)進行存儲，從而導(dǎo)致計算機存儲的數(shù)值只能是個大概的值，而不是精確的值。

從這里看出來我們的計算機根本就無法使用二進制來精確的表示 2.1 這個十進制數(shù)字的值，連表示都無法精確表示出來，計算肯定是會出現(xiàn)問題的。

精度運算丟失的解決辦法

現(xiàn)有有三種辦法

• 如果業(yè)務(wù)不是必須非常精確的要求可以采取四舍五入的方法來忽略這個問題。
• 轉(zhuǎn)成整型再進行計算。
• 使用 BCD 碼存儲和運算二進制小數(shù)(感興趣的同學(xué)可自行搜索學(xué)習(xí))。

一般每種語言都用高精度運算的解決方法（比一般運算耗費性能），比如 Python 的 decimal 模塊，Java 的 BigDecimal，但是一定要把小數(shù)轉(zhuǎn)成字符串傳入構(gòu)造，不然還是有坑，其他語言大家可以自行尋找一下。

# Python 示例
from decimal import Decimal
 
num = Decimal('0.1') + Decimal('0.1') + Decimal('0.1')
print(num)

// Java 示例
import java.math.BigDecimal;
 
BigDecimal add = new BigDecimal("0.1").add(new BigDecimal("0.1")).add(new BigDecimal("0.1"));
System.out.println(add);

拓展：詳解浮點型

上面既然提到了浮點型的存儲是有限制，那么我們看一下我們的計算機是如何存儲浮點型的，是不是真的正如我們上面提到的有小數(shù)長度的限制。

那我們就以 Float 的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)來說，根據(jù) IEEE 標(biāo)準(zhǔn)浮點型分為符號位，指數(shù)位和尾數(shù)位三部分（各部分大小詳情見下圖）。

IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)

一般情況下我們表示一個很大或很小的數(shù)通常使用科學(xué)記數(shù)法，例如：1000.00001 我們一般表示為 1.00000001 * 10^3，或者 0.0001001 一般表示為 1.001 * 10^-4。

符號位

0 是正數(shù)，1 是負數(shù)

指數(shù)位

指數(shù)很有意思因為它需要表示正負，所以人們創(chuàng)造了一個叫 EXCESS 的系統(tǒng)。這個系統(tǒng)是什么意思呢？它規(guī)定 最大值 / 2 - 1 表示指數(shù)為 0。我們使用單精度浮點型舉個例子，單精度浮點型指數(shù)位一共有八位，表示的十進制數(shù)最大就是 255。那么 255 / 2 - 1 = 127，127 就代表指數(shù)為 0。如果指數(shù)位存儲的十進制數(shù)據(jù)為 128 那么指數(shù)就是 128 - 127 = 1，如果存儲的為 126，那么指數(shù)就是 126 - 127 = -1。

尾數(shù)位

比如上述例子中 1.00000001 以及 1.001 就屬于尾數(shù)，但是為什么叫尾數(shù)呢？因為在二進制中比如 1.xx 這個小數(shù)，小數(shù)點前面的 1 是永遠存在的，存了也是浪費空間不如多存一位小數(shù)，所以尾數(shù)位只會存儲小數(shù)部分。也就是上述例子中的 00000001 以及 001 存儲這樣的數(shù)據(jù)。

IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)

通過上述程序我們得到的存儲 1.25 的 float 二進制結(jié)構(gòu)的具體值為 00111111101000000000000000000000 ，我們拆分一下 0 為符號位他是個正值。01111111 為指數(shù)位，01000000000000000000000 是尾數(shù)。接下來我們驗證一下 01111111 轉(zhuǎn)為十進制是 127，那么經(jīng)過計算指數(shù)為 0。尾數(shù)是 01000000000000000000000 加上默認省略的 1 為 1.01（省略后面多余的 0），轉(zhuǎn)換為十進制小數(shù)就是 1.25。