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背景
堆是一種非常常用的數據結構,它能夠支持在O(1)的時間復雜度獲取到最大值(或最小值),因此我們經常在需要求最值的場景使用它。
然而普通堆它有一個缺點,它沒辦法快速的定位一個元素,因此它也沒辦法快速刪除一個堆中元素,需要遍歷整個堆去查詢目標元素,時間復雜度是O(n),因為堆的結構在邏輯上是這樣的:
在實際實現中一般是使用一個數組來模擬:
也就是除了最大值(大頂堆)或最小值(小頂堆),其他元素其實是沒有排序的,因此沒辦法通過二分查找的方式快速定位。
但是我們經常有一種場景,需要堆的快速求最值的性質,又需要能夠支持快速的隨機訪問元素,特別是刪除元素。
比如延遲任務的場景,我們可以使用堆對任務的到期時間戳進行排序,從而實現到期任務自動執行,但是它沒辦法支持隨機刪除一個延遲任務的需求。
下面將介紹一種支持O(log(n))隨機刪除元素的堆。
原理
數據結構
一種能夠快速隨機訪問元素的數據結構是map,map如果是哈希表實現則能夠在O(1)的復雜度下隨機訪問任何元素,而heap在知道要刪除的元素的下標的情況下,也可以在O(log(n))的復雜度刪除一個元素。因此我們可以結合這兩個數據結構,使用map來記錄heap中每個元素的下標,使用heap來獲取最值。
比如對于上面的堆,我們首先給每個元素添加一個Key,這樣我們才能夠使用map:
然后我們使用map記錄每個key對應的下標:
隨機訪問
這時候比如我們最簡單的隨機訪問一個元素C,那么就是從map[C]
得到元素在heap里面的index=2,因此可以拿到元素的值。
index = m[C] // 獲取元素C在heap的下標 return h[index] // 獲取index在heap的值
刪除
而如果我們要刪除元素C,我們也是從map[C]
得到元素在heap里面的index=2,然后把index為2的元素和堆最后一個元素交換,然后從index=2向上和向下調整堆,也就是:
index = m[C] // 獲取元素C在heap的下標 swap(index, n - 1) // 和最后一個元素交換 pop() // 移除最后一個元素,也就是元素C down(index) // 從index向下調整堆 up(index) // 從index向上調整堆
map里面的元素index維護
上面使用的swap(i, j)和pop()操作都會影響到map里面元素的index,其實還有push(k, v)操作也會影響元素的index。
對于swap(i, j)來說需要交換兩個元素的index:
h[i], h[j] = h[j], h[i] // 交換堆中兩個元素 m[h[i].Key] = i // 交換map元素索引 m[h[j].Key] = j // 交換map元素索引
pop()需要刪除元素的索引:
elem = h.removeLast() // 移除最后一個元素 m.remove(elem.Key) // 移除元素索引
push(k, v)需要添加元素索引:
m[key] = n // 添加元素索引 h.addLast(Entry(K, V)) // 添加元素到堆
這樣其他操作就不需要維護map里面的索引問題了,保持和正常的堆的實現邏輯基本一致。
Golang實現
由于這個數據結構使用到了map和heap,因此起了一個比較短的名字叫meap
,也就是m[ap]+[h]eap
。
數據結構
其中主要就是一個heap和一個map,由于我們也需要從heap到map的操作,因此heap里面每個元素Entry都記錄了Key,這樣就可以從heap快速訪問到map里面的元素,實現map里面index的修改。
LessFunc主要用于比較兩個元素大小。
type Meap[K comparable, V any] struct { h []Entry[K, V] m map[K]int lessFunc LessFunc[K, V] } type Entry[K comparable, V any] struct { Key K Value V } type LessFunc[K comparable, V any] func(e1 Entry[K, V], e2 Entry[K, V]) bool
移除堆頂元素
這里和正常的堆的邏輯是一樣的,也就是把堆頂元素和最后一個元素交換,然后調整堆,移除堆中最后一個元素。
func (h *Meap[K, V]) Pop() Entry[K, V] { n := h.Len() - 1 h.swap(0, n) // 堆頂和最后一個元素交換 h.down(0, n) // 調整堆 return h.pop() // 移除堆中最后一個元素 }
添加元素
這里的參數和普通的堆有一點區別,也就是我們有Key和Value,因為map必須使用一個Key,因此多了一個Key參數。
由于有map的存在,我們可以先判斷元素是否已經存在,如果存在則設置Value然后調整堆即可。
如果不存在則添加元素到堆的最后,然后調整堆。
func (h *Meap[K, V]) Push(key K, value V) { // 如果堆中已經包含這個元素 // 更新值并調整堆 if h.Contains(key) { index := h.m[key] // 元素在堆中下標 h.h[index].Value = value // 更新堆中元素值 h.fix(index) // 向上向下調整堆 return } // 否則添加元素 h.push(key, value) // 添加元素到堆的最后面 h.up(h.Len() - 1) // 向上調整堆 }
移除元素
我們首先通過key定位元素在堆中下標,然后把這個下標和堆最后一個元素交換,調整堆,最后把堆最后一個元素移除。
func (h *Meap[K, V]) Remove(key K) { i, ok := h.m[key] // 獲取元素在堆中下標 if !ok { // 如果元素不存在則直接返回 return } n := h.Len() - 1 // 最后一個元素索引 if n != i { // 如果被移除的元素就是堆中最后一個元素,則沒必要調整了,直接移除即可 h.swap(i, n) // 和最后一個元素交換 if !h.down(i, n) { // 向下調整 h.up(i) // 向上調整 } } h.pop() // 移除堆中最后一個元素 }
push()、pop()和swap()
涉及到調整map中index的操作都集中到這三個操作之中:
// swap兩個元素的時候 // 兩個元素在map里的下標也要交換 func (h *Meap[K, V]) swap(i, j int) { h.h[i], h.h[j] = h.h[j], h.h[i] // 交換兩個元素 h.m[h.h[i].Key] = i // 更新索引 h.m[h.h[j].Key] = j // 更新索引 } // 添加一個元素到堆的末尾 func (h *Meap[K, V]) push(key K, value V) { h.m[key] = h.Len() // 添加索引 h.h = append(h.h, Entry[K, V]{ // 添加元素到堆尾 Key: key, Value: value, }) } // 從堆的末尾移除元素 func (h *Meap[K, V]) pop() Entry[K, V] { elem := h.h[h.Len()-1] // 堆尾元素 h.h = h.h[:h.Len()-1] // 移除堆尾元素 delete(h.m, elem.Key) // 刪除堆尾元素索引 return elem }
時間復雜度
上面Golang實現中關鍵操作的時間復雜度:
操作 | 時間復雜度 | 描述 |
---|---|---|
Push() | O(log(n)) | 添加元素 |
Pop() | O(log(n)) | 移除堆頂元素 |
Peek() | O(1) | 獲取堆頂元素 |
Get() | O(1) | 獲取元素 |
Remove() | O(log(n)) | 刪除元素 |
總結
map的引入解決了heap無法隨機刪除的問題,從而能夠解決更多的最值問題。其實還有其他的數據結構也能夠高效的解決最值問題,比如紅黑樹能夠在O(log(n))獲取最大最小值,zset
也可以在O(log(n))的復雜度下獲取最值,而且它們也是能夠支持隨機刪除。當然如果你所使用的語言不支持紅黑樹或者zset,那么使用map+heap實現也是可以的,畢竟實現一個可刪除的堆比實現一個紅黑樹或者zset容易很多,而且meap獲取最值的Peek()操作的時間復雜度是O(1)。
原文鏈接:https://juejin.cn/post/7145833385389195271
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