目录
- 前言
- 一、必要的参数
- 二、辅助函数
- 三、实现加减乘除
- 四、使用例子
- 1、加法例子
- 2、减法例子
- 3、乘法例子
- 4、除法例子
前言
C/C++基本类型做算术运算时长度有限，但也基本满足大部分场景的使用，有时需要计算大长度数据就有点无能为力了，比如1000的阶乘结果就有2000多位，用基本类型是无法计算的。
高精度的算法，一般的方式是用一个很长的数组去记录数据，数组的每一位记录固定位数的数字，记录顺序是低位到高位。计算方式则通常采用模拟立竖式计算。计算方式有一些优化方法，比如FFT快速傅里叶变换优化乘法，牛顿迭代优化除法。
本方法采用的，是上述的一般方式，用数组从低到高位记录数据，计算方式采用模拟立竖式计算。
一、必要的参数
1、计算位数
需要设定数组每个元素记录的位数即计算的进制（十进制、百进制、千进制）。计算位数越大，计算性能越好，在32/64位程序中，位数的范围可以是[1,9]。
2、计算进制
与计算位数直接对应，比如1位等于10进制，2位等于百进制。
3、数组类型
根据计算位数定义能装载数据的整型，尽量不浪费空间又不溢出，比如2位以内可以用int8，4位可以用int16等。
代码实现如下：
#include<stdint.h>
#include<stdio.h>
//计算位数，范围[1,9]
#define NUM_DIGIT 9
//数组类型
#if NUM_DIGIT<=0
static_assert(1, "NUM_DIGIT must > 0 and <=9");
#elif NUM_DIGIT <=2
#define _NUM_T int8_t
#elif NUM_DIGIT <=4
#define _NUM_T int16_t
#elif NUM_DIGIT <=9
//NUM_DIGIT在[5,9]时用int32就可以装载数据，但是实测发现用int32在32位程序中，对除法性能有影响，用int64反而正常，这是比较奇怪的现象。
#define _NUM_T int64_t
#else
static_assert(1, "NUM_DIGIT must > 0 and <=9");
#endif
//计算进制
static const size_t _hex = NUM_DIGIT == 1 ? 10 : NUM_DIGIT == 2 ? 100 : NUM_DIGIT == 3 ? 1000 : NUM_DIGIT == 4 ? 10000 : NUM_DIGIT == 5 ? 100000 : NUM_DIGIT == 6 ? 1000000 : NUM_DIGIT == 7 ? 10000000 : NUM_DIGIT == 8 ? 100000000 : NUM_DIGIT == 9 ? 1000000000 : -1;
#define _MIN_NUM_SIZE 30/NUM_DIGIT
上述代码只要设置NUM_DIGIT(计算位数)就可以，其他值（计算进制、数组类型）都会自动生成。
二、辅助函数
1、初始化函数
由整型、字符串初始化高精度数组的方法。
2、比较函数
比较两个高精度数的大小等于。
3、输出函数
将高精度数组打印输出。
代码实现如下：
/// <summary>
/// 通过字符串初始化
/// </summary>
/// <param name="a">[in]高精度数组</param>
/// <param name="value">[in]字符串首地址</param>
/// <param name="len">[in]字符串长度</param>
/// <returns>数据长度</returns>
static size_t initByStr(_NUM_T* a, const char* value, size_t len)
{
size_t shift = 10;
size_t i, j, k = 0, n;
n = len / NUM_DIGIT;
for (i = 0; i < n; i++)
{
a[i] = (value[len - k - 1] - '0');
for (j = 1; j < NUM_DIGIT; j++)
{
a[i] += (value[len - k - j - 1] - '0') * shift;
shift *= 10;
}
shift = 10;
k += NUM_DIGIT;
}
if (n = len - n * NUM_DIGIT)
{
a[i] = (value[len - k - 1] - '0');
for (j = 1; j < n; j++)
{
a[i] += (value[len - k - j - 1] - '0') * shift;
shift *= 10;
}
i++;
}
return i;
}
/// <summary>
/// 通过无符号32整型初始化
/// </summary>
/// <param name="a">[in]高精度数组</param>
/// <param name="value">[in]整型值</param>
/// <returns>数据长度</returns>
static size_t initByInt32(_NUM_T* a, uint32_t value)
{
size_t i;
for (i = 0; i < 8096; i++)
{
a[i] = value % _hex;
value /= _hex;
if (!value)
{
i++;
break;
}
}
return i;
}
/// <summary>
/// 通过无符号64整型初始化
/// </summary>
/// <param name="a">[in]高精度数组</param>
/// <param name="value">[in]整型值</param>
/// <returns>数据长度</returns>
static size_t initByInt64(_NUM_T* a, uint64_t value)
{
size_t i;
for (i = 0; i < 8096; i++)
{
a[i] = value % _hex;
value /= _hex;
if (!value)
{
i++;
break;
}
}
return i;
}
/// <summary>
/// 比较两个高精度数的大小
/// </summary>
/// <param name="a">[in]第一个数</param>
/// <param name="aLen">[in]第一个数的长度</param>
/// <param name="b">[in]第二个数</param>
/// <param name="bLen">[in]第二个数的长度</param>
/// <returns>1是a>b,0是a==b,-1是a<b</returns>
static int compare(const _NUM_T* a, size_t aLen, const _NUM_T* b, size_t bLen)
{
if (aLen > bLen)
{
return 1;
}
else if (aLen < bLen)
{
return -1;
}
else {
for (int i = aLen - 1; i > -1; i--)
{
if (a[i] > b[i])
{
return 1;
}
else if (a[i] < b[i])
{
return -1;
}
}
}
return 0;
}
/// <summary>
/// 打印输出结果
/// </summary>
static void print(const _NUM_T* a, size_t aLen) {
int i = aLen - 1, j = 0, n = _hex;
char format[32];
sprintf(format, "%%0%dd", NUM_DIGIT);
printf("%d", a[i--]);
for (; i > -1; i--)
printf(format, a[i]);
}
三、实现加减乘除
1、加法
由于数组存储数据的顺序是由低位到高位的，所以只需要两个数从数组0位开始相加，结果除以计算位数，余数保存在第一个数数组当前位，商累加到第一个数数组的下一位，然后下标加1重复前面的计算，直到全部元素计算完。
代码实现如下：
/// <summary>
/// 加法(累加)
///结果会保存在a中
/// </summary>
/// <param name="a">[in]被加数</param>
/// <param name="aLen">[in]被加数长度</param>
/// <param name="b">[in]加数</param>
/// <param name="bLen">[in]加数长度</param>
/// <returns>结果长度</returns>
static size_t acc(_NUM_T* a, size_t aLen, const _NUM_T* b, size_t bLen)
{
size_t i, n = bLen;
const size_t max = _hex - 1;
if (aLen < bLen)
{
memset(a + aLen, 0, (bLen - aLen + 1) * sizeof(_NUM_T));
}
else {
a[aLen] = 0;
}
for (i = 0; i < bLen; i++) {
uint64_t temp = (uint64_t)a[i] + (uint64_t)b[i];
a[i] = temp % _hex;
a[i + 1] += temp / _hex;
}
for (; i < aLen; i++) {
uint64_t temp = a[i];
if (temp <= max)
break;
a[i] = temp % _hex;
a[i + 1] += temp / _hex;
}
n = aLen > bLen ? aLen : bLen;
if (a[n])
return n + 1;
return n;
}
2、减法
减法的原理和加法是类似的，两个数从数组0位开始相减，结果大于等于0直接保存到第一个数数组当前位，否则结果小于零结果+计算进制保存到第一个数数组当前位，同时下一位减等于1，然后下标加1重复前面的计算，直到全部元素计算完。
代码实现如下：
/// <summary>
/// 减法(累减)
///结果会保存在a中
/// </summary>
/// <param name="a">[in]被减数，被减数必须大于等于减数</param>
/// <param name="aLen">[in]被减数长度</param>
/// <param name="b">[in]减数</param>
/// <param name="bLen">[in]减数长度</param>
/// <returns>结果长度</returns>
static size_t subc(_NUM_T* a, size_t aLen, const _NUM_T* b, size_t bLen) {
size_t m, n, i;
if (aLen < bLen)
{
m = bLen;
n = aLen;
}
else {
n = bLen;
m = aLen;
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
int64_t temp = (int64_t)a[i] - (int64_t)b[i];
a[i] = temp;
if (temp < 0)
{
a[i + 1] -= 1;
a[i] += _hex;
}
}
for (; i < m; i++)
{
_NUM_T temp = a[i];
if (temp < 0)
{
a[i + 1] -= 1;
a[i] += _hex;
}
else
{
break;
}
}
for (size_t i = aLen - 1; i != SIZE_MAX; i--)
if (a[i])
return i + 1;
return 1;
}
3、乘法
依然是参考立竖式计算方法，两层循环，遍历一个数的元素去乘以另一个数的每个元素，结果记录到新的数组中。
代码实现如下：
/// <summary>
/// 乘法
/// </summary>
/// <param name="a">[in]被乘数</param>
/// <param name="aLen">[in]被乘数长度</param>
/// <param name="b">[in]乘数</param>
/// <param name="bLen">[in]乘数长度</param>
/// <param name="c">[out]结果，数组长度必须大于等于aLen+bLen+1，且全部元素为0</param>
/// <returns>结果长度</returns>
static size_t multi(const _NUM_T* a, size_t aLen, const _NUM_T* b, size_t bLen, _NUM_T c[]) {
_NUM_T d;
size_t j;
c[aLen + bLen] = 0;
for (size_t i = 0; i < aLen; i++)
{
d = 0;
for (j = 0; j < bLen; j++)
{
uint64_t temp = (uint64_t)a[i] * (uint64_t)b[j] + c[j + i] + d;
d = temp / _hex;
c[j + i] = temp % _hex;
}
if (d)
{
c[j + i] = d;
}
}
for (size_t k = aLen + bLen; k != SIZE_MAX; k--)
if (c[k])
return k + 1;
return 1;
}
4、除法
基本的除法直接利用减法就可以实现，本方法使用的是模拟立竖式计算的方式，将移动除数使其与被除数高位对其，乘以一定倍数让除数与被除数值接近再进行减法运算。
代码实现如下：
/// <summary>
/// 除法
/// </summary>
/// <param name="a">[in]被除数,被除数必须大于除数。小于商为0、余数为除数，等于商为1、余数为0，不需要在函数内实现，在外部通过compare就可以做到。</param>
/// <param name="aLen">[in]被除数长度</param>
/// <param name="b">[in]除数</param>
/// <param name="bLen">[in]除数长度</param>
/// <param name="c">[out]商，数组长度大于等于aLen，且全部元素为0</param>
/// <param name="mod">[out]余数，数组长度大于等于aLen</param>
/// <param name="modLen">[out]余数长度</param>
/// <param name="temp">[in]临时缓冲区，由外部提供以提高性能，数组长度大于等于aLen+bLen+1</param>
/// <returns>商长度</returns>
static size_t divide(const _NUM_T* a, size_t aLen, const _NUM_T* b, size_t bLen, _NUM_T* c, _NUM_T* mod, size_t* modLen, _NUM_T* temp) {
intptr_t n, l;
int equal;
memcpy(mod, a, (aLen) * sizeof(_NUM_T));
n = aLen - bLen;
l = aLen;
while (n > -1)
{
equal = compare(mod + n, l - n, b, bLen);
if (equal == -1)
{
n--;
if (!mod[l - 1])
l--;
continue;
}
if (equal == 0)
{
c[n]++;
n -= bLen;
l -= bLen;
continue;
}
uint64_t x;
if ((l - n) > bLen)
{
x = ((mod[l - 1]) * _hex) / ((uint64_t)b[bLen - 1] + 1);
if (x == 0)
{
x = (mod[l - 2]) / ((uint64_t)b[bLen - 1] + 1);
}
}
else
{
x = (mod[l - 1]) / ((uint64_t)b[bLen - 1] + 1);
}
if (x == 0)
x = 1;
c[n] += x;
if (x == 1)
{
l = n + subc(mod + n, l - n, b, bLen);
}
else
{
_NUM_T num[_MIN_NUM_SIZE];
size_t len = initByInt32(num, x);
memset(temp, 0, (aLen + bLen + 1) * sizeof(_NUM_T));
len = multi(b, bLen, num, len, temp);
l = n + subc(mod + n, l - n, temp, len);
}
}
intptr_t i = l - 1;
for (; i > -1; i--)
if (mod[i])
break;
if (i == -1)
{
mod[0] = 0;
*modLen = 1;
}
else
{
*modLen = i + 1;
}
if (c[aLen - bLen] != 0)
return aLen - bLen + 1;
else
return aLen - bLen;
}
四、使用例子
1、加法例子
求 n 累加和(ja)。用高精度方法，求 s=1+2+3+……+n 的精确值(n 以一般整数输入)。
int main(){
int64_t n;
size_t len, len2;
_NUM_T num[1024];
_NUM_T num2[1024];
std::cin >> n;
len = initByInt32(num, 0);
for (int64_t i = 1; i <= n; i++)
{
len2 = initByInt64(num2, i);
len = acc(num, len, num2, len2);
}
print(num, len);
return 0;
}
2、减法例子
两个任意十一位数的减法；（小于二十位）
int main()
{
_NUM_T a1[8096], a2[8096];
std::string s1, s2;
std::cin >> s1 >> s2;
size_t len1,len2;
len1 =initByStr(a1, s1.c_str(), s1.size());
len2 = initByStr(a2, s2.c_str(), s2.size());
len1 =subc(a1, len1, a2, len2);
print(a1,len1);
return 0;
}
3、乘法例子
求 N！的值(ni)。用高精度方法，求 N！的精确值(N 以一般整数输入)。
int main(){
int64_t n;
size_t len, len2;
_NUM_T num[8096];
_NUM_T num2[8096];
_NUM_T num3[8096];
_NUM_T* p1 = num;
_NUM_T* p2 = num3;
std::cin >> n;
len = initByInt32(num,1);
for (int64_t i = 1; i <= n; i++)
{
len2 = initByInt64(num2, i);
memset(p2, 0, 8096* sizeof(_NUM_T));
len = multi(p1, len, num2, len2, p2);
_NUM_T* temp = p1;
p1 = p2;
p2 = temp;
}
print(p1, len);
return 0;
}
4、除法例子
给定两个非负整数A，B，请你计算 A / B的商和余数。
int main()
{
_NUM_T a1[8096], a2[8096],c[8096],mod[8096], temp[8096];
std::string s1, s2;
std::cin >> s1 >> s2;
size_t len1,len2,ml;
len1 =initByStr(a1, s1.c_str(), s1.size());
len2 = initByStr(a2, s2.c_str(), s2.size());
memset(c, 0, 8096 * sizeof(_NUM_T));
len1 =divide(a1, len1, a2, len2,c, mod,&ml, temp);
print(c,len1);
std::cout<< std::endl ;
print(mod, ml);
return 0;
}
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